Macam-macam Bilangan

nah karena berhubung gue sekarang ini adalah mahasiswa matematika (ceileeeh) dan mahasiswa itu kan tugasnya seabrek banget ya. nah berdasar itulah gue jadi kepikiran buat posting tentang ilmu yg gue pelajari. siapa tau gue bisa bantu elo semua. hehe, here we goes :D 

materi ini gue dapet dari mata kuliah Teori Bilangan jadi mangga dibaca :D

Macam-macam Bilangan.

Nah dibawah ini gue bikinin semacam peta konsep gitu. dimana bagian-bagian dari bilangan. nah yang gue jelasin dibawah gambar itu, gue jelasinnya dari urutan paling bawah di gambar peta ini.

struktur macam-macam bilangan

A. Bilangan Kardinal
Bilangan kardinal adalah bilangan yang mempergunakan untuk menyatakan banyak dari suatu objek. Misalnya banyak anggota dari suatu himpunan, banyak murid dalam suatu kelas. Contoh: Banyak siswa didalam kelas adalah 40 siswa.

B. Bilangan Ordinal

Bilangan ordinal adalah bilangan yang mempergunakan untuk menyatakan urutan (rank). Contoh: Saya merupakan anak ke-4.

C. Bilangan Asli

Bilangan asli adalah bilangan yang dipergunakan untuk membilang (menghitung satu-satu). kita membilang satu objek mulai dari satu, dua, tiga, ... (maju dengan penambahan satu-satu). jadi himpunan bilangan asli yang biasa dinotasikan dengan N = {1,2,3,4,5, ...}

Dalam sistem bilangan asli relasi "=" merupakan relasi ekuivalen, sebab untuk setiap a, b, dan c bilangan asli terpenuhi :

(i) a=a (sifat refleksif)

(ii) jika a=b, maka b=a (sifat simetrik)

(iii) jika a=b dan b=c, maka a=c (sifat transitif)

dalam sistem bilangan asli juga dipenuhi hukum trichotomi artinya untuk setiap bilangan asli a dan b berlaku tepat satu hubungan diantara relasi:

a<b, a=b, a>b

Himpunan bilangan asli dapat digolongkan menjadi:

(a) Bilangan genap (positif) adalah bilangan asli yang habis dibagi dua, artinya bila dibagi dua tidak bersisa (bersisa nol). bilangan genap positif ini dapat ditulis {2, 4, 6, ...}  atau Gn = { x | x = 2n dan n bilangan asli}

(b) bilangan ganjil (positif) adalah bilangan asli yang tidak habis dibagi dua, artinya bila dibagi dua selalu bersisa satu. Bilangan ganjil positif ini dapat ditulis {1, 3, 5, 7, ...} atau Gj = {y | y = 2n-1 dan n bilangan asli}

(c) Bilangan prima positif adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor (pembagi positif) artinya bilangan tersebut hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. bilangan prima positif dapat ditulis { 2,3,5,7, ...} bilangan prima ini disebut juga bilangan basit.


D. Bilangan Cacah
Himpunan bilangan cacah merupakan gabungan anatar himpunan bilangan asli dan nol, yaitu {0,1,2,3, ...}. Bilangan 0 kita pergunakan untuk penulisan nilai tempat pada sisten numerasi (hindu-arab) sehingga kita dapat membedakan antara bilangan 21, 210, 201 dan sebagainya. juga untuk menyatakan bilangan kardinal dari suatu himpunan kosong A yang kita tulis n(A) = 0


E. Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dengan himpunan bilangan bulat negatif, yaitu {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...}. jika semesta pembicaraan kita adalah himunan bilangan bulat, maka kita dapat memperluas himpunan bilangan genap, himpunan bilangan ganjil, himpunan bilangan prma, dan himpunan bilangan komposit.

F. Bilangan Rasional

Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b bilangan bulat, b≠0 dan (a,b)=1 (dengan kata lain a dan b relatif prima). bilangan rasional merupakan gabungan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan (tetapi dibatasi pada pecahan desimal terbatas dan pecahan desimal tak terbatas berulang, sebab pecahan desimal tak terbatan dan tak berulang bukan merupakan bilangan rasional)

G. Bilangan Irasional

bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a,b bilangan bulat dan b≠0 serta (a,b)=1. bilangan desimal tak terbatas dan tak berulang merupakan bilangan irasional. contoh: √2 = 1,4142135.....

H. Bilangan Real

Himpunan bilangan real merupakan gabungan antara himpunan bilangan Rasional dan bilangan Irasional. Dengan perluasan dari bilangan asli, cacah, bulat, rasional, irasional dan real, maka himpunan titik-titik pada garis bilangan tak ada tempat kosong lagi. artinya, setiap titik pada garis bilangan dapat berkorespodensi satu-satu dengan setiap bilangan real.

I. Bilangan Imajiner

kita mengetahui bahwa √2, √3, √5 adalah bilangan bilangan irasional yang terasuk bilangan real. namun bila kita berhadapan dengan soal persamaan kuadrat x² = -2 berarti x= ±√-2, penyelesaian ini bukan bilangan real, sebab tidak ada bilangan real x yang bila dikuadratkan hasilnya -2.

operasi menarik akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif mengharuskan kita menentukan himpunan bilangan baru yang kita sebut bilangan imajiner adalahbilanga yang bersifat jika bilangan tersebut dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilakan bilangan negatif.

Suatu bilangan imajiner dinyatakan dengan huruf "i" didefinisikan :

i²=-1 atau i=√-1

contoh : √-3 = √3 (-1) = √3 × i² = i√3


J. Bilangan Kompleks
dengan sistem bilangan real saja ternyata kita masih dapat mengerjakan atau menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan penarikan akar dari bilangan-bilangan negatif. oleh karena itu sistem bilangan real masih perlu diperluas lagi dengan bilangan khayal (imajiner) sehingga menjadi bilangan kompleks.